2D Transformation

참고

1. 다중관점기하학(Multiple View Geometry in Computer Vision) 책 내용 정리 Part 1 - 사영기하학

2D 변환

출처

동차 좌표를 이용하여 표현하면 Affine 변환을 단일 행렬로 표현할 수 있고 이로 인해 여러 행렬의 변환들의 행렬곱으로 자유롭게 결합 할 수 있음

유클리디안 변환 (Euclidean transformation)

다른 말로는 Rigid transformation

유클리디안 변환은 변환 후 물체의 크기와 형태가 유지되어야 하므로, 이동 변환과 회전 변환이 포함됨

Translation

2차원 공간에서 위치를 이동하는 변환

아래와 같은 동차 좌표계를 이용한 식으로 표현 가능

\[\bar{x}^{'}=\begin{bmatrix} I & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}\bar{x}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y}\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\bar{x}\]

이동 변환의 자유도는 2

• $t_{x}$, $t_{y}$

Rotation

2차원 공간에서 회전하는 변환

반시계 반향으로 $\theta$ 만큼 회전시키는 행렬은 다음과 같음

\[\bar{x}^{'}=\begin{bmatrix} R & 0\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}\bar{x}=\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\bar{x}\]

회전 변환의 자유도는 1

• $\theta$

Euclidean

Rotation + Translation

유클리디안 거리와 각도가 보존됨

\[\bar{x}^{'}=\begin{bmatrix} R & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}\bar{x}=\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & t_{x} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & t_{y} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\bar{x}\]

두 변환이 같이 일어나는 변환에서 자유도 3

• $t_{x}, t_{y}$, $\theta$

Similarity Transformation

Scaling + Rotation + Translation

유클리디안 변환에 크기 (scale) 변화까지 허용된 변환

선들 사이의 각도가 유지됨

\[\bar{x}^{'}=\begin{bmatrix} sR & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}\bar{x}=\begin{bmatrix} s\cos{\theta} & -s\sin{\theta} & t_{x} \\ s\sin{\theta} & s\cos{\theta} & t_{y} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\bar{x}\]

자유도는 4

• $t_{x}, t_{y}$, $\theta$, $s$

Affine Transformation

Scaling + Rotation + Translation + Shearing + Reflection

평행한 선들은 변환 후에도 계속 평행을 유지

\[\bar{x}^{'}=\begin{bmatrix} A & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}\bar{x}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & t_{y} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\bar{x}\]

자유도는 6

• $t_{x}, t_{y}$, $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$

Projective Transformation

같은 말로 perspective transformation, homograhpy

3차원 공간의 평면과 투영 평면과의 관계를 모델링 할 때 사용되는 변환

3차원에서의 평면과 투영 평면에 대한 변환 모델이므로 입체 모델은 나타낼수 없음

직선은 변환 후에도 계속 직선이 됨

\[\bar{x}^{'}=H\bar{x}=\begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33}\end{bmatrix}\bar{x}\]

자유도는 8

\[\begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33}\end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & t_{y} \\ v_{1} & v_{2} & 1 \end{bmatrix}\]

이 때, \(v = [v_{1}, v_{2}]^{T}\neq0\) 조건을 만족해야 projective transformation

scaling은 이미지의 위치에 따라 달라질 수 있음

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & t_{y} \\ v_{1} & v_{2} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}x + a_{12}y +t_{x} \\ a_{21}x+ a_{22}y + t_{y} \\ v_{1}x + v_{2}y+1\end{bmatrix}\]

• scale이 좌표값에 의존하여 변하게 됨